Қатори Тейлор

Қатори Тейлор — таҷзияи функсияҳоро ба суммаи беохири функсияҳои дараҷагӣ меноманд. Қатор ба шарофати риёзидони англис Брук Тейлор номгузорӣ шудааст.

Бигзор функсияи $f(x)$ дар атрофи ягон нуқтаи $a$ беохир дифференсиронидашаванда бошад, он гоҳ қатори

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

қатори Тейлори функсияи $f$ дар нуқтаи $a$ номида мешавад. Ҳангоми a=0 ин қаторро баъзан қатори Маклорен низ меноманд.

Агар $f$ функсияи аналитикӣ бошад, он гоҳ қатори Тейлори он дар ҳар як нуқтаи $a$ соҳаи муайянии $f$ ба $f$ дар ягон атрофи $a$ наздик мешавад.

Формулаи Тейлор

Формулаи Тейлор барои исботи теоремаҳои зиёде ҳисоби дифференсиалӣ истифода мешавад. Гуфтан мумкин аст, ки формулаи Тейлор хислати функсияро дар атрофи ягон нуқта муайян месозад.

Таҷзияи Тейлор барои баъзе функсияҳо

Дар поён таҷзияҳои аз рӯи формулаи Тейлор барои баъзе функсияҳои асосӣ, ки барои ҳама гуна ададҳои комплексӣ ва ҳақиқии x дурустанд, оварда шудааст.

Экспонента ва логарифми натуралӣ:

${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$ барои ҳама гуна $x$

$\ln (1+x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}$ барои $\left|x\right|<1$

Қатори геометрӣ:

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ барои $\left|x\right|<1$

Таҷзияи биномиалӣ:

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n$ барои ҳама гуна $\left|x\right|<1\text{ and all complex }\alpha$

Функсияҳои тригонометрӣ:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$ барои ҳама гуна $x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$ барои ҳама гуна $x$

$\mathrm{tg}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ для $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}$ барои ҳама гуна $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ барои ҳама гуна $\left|x\right|<1$

$\mathrm{arctg}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}$ барои ҳама гуна $\left|x\right|<1$

Функсияҳои гиперболӣ:

$\mathrm{sh}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$ барои ҳама гуна $x$

$\mathrm{ch}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}$ барои ҳама гуна $x$

$\mathrm{th}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ барои $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{areash}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$ барои $\left|x\right|<1$

$\mathrm{areath}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{x}^{2n+1}$ барои $\left|x\right|<1$

Адабиёт

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов "Математический анализ" ч. 1, изд. 3, ред. А.Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004
• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина, Высшая математика. Первый семестр, Шаблон:Бойгонишуда